Rechner

Kondensator laden und entladen

Ladespannung U₀Widerstand RKapazität CZeit tZielspannung

Zeitkonstante τ: 1 s
5 τ: 5 s
Spannung nach t: 3,16 V
Strom nach t: 184 µA
Zeit bis Zielspannung: 1,61 s

u_C(t) = U₀ · (1 − e^−t/τ), Laden ab 0 V. τ = R · C. Ideale Bauteile: Innenwiderstand der Quelle, Leckstrom und Toleranz von C sind nicht berücksichtigt. Nach 5 τ ist der Vorgang zu über 99 % abgeschlossen. Blauer Punkt: Spannung nach der Zeit t, grüner Ring: Zielspannung.

Ein Reset-Pin soll erst nach dem Einschalten loslassen, eine Verzögerung soll ein Relais später schalten, ein Netzteil-Elko soll nach dem Abschalten auf eine ungefährliche Spannung fallen: Immer dann lädt oder entlädt sich ein Kondensator über einen Widerstand, und du willst wissen, wie schnell. Der Rechner liefert die Spannung nach einer beliebigen Zeit, die Zeit bis zu einer Zielspannung und zeichnet die Kurve dazu.

So rechnet der Rechner

Ein Kondensator mit der Kapazität C hängt über einen Widerstand R an einer Spannung. Der Strom ist anfangs groß und wird kleiner, je voller der Kondensator ist. Daraus ergibt sich keine Gerade, sondern eine e-Funktion. Wie schnell sie verläuft, legt die Zeitkonstante fest:

τ = R · C

Mit R in Ohm und C in Farad kommt τ in Sekunden heraus. 10 kΩ und 100 µF ergeben also genau eine Sekunde.

Laden von 0 V auf die Spannung U₀:

u_C(t) = U₀ · (1 − e^−t/τ) t = τ · ln( U₀U₀ − u_C )

Entladen von U₀ auf 0 V:

u_C(t) = U₀ · e^−t/τ t = τ · ln( U₀u_C )

Die linke Formel beantwortet „Welche Spannung nach der Zeit t?“, die rechte „Wie lange bis zur Spannung u_C?“. Der Strom fällt in beiden Fällen gleich ab:

i(t) = U₀R · e^−t/τ

Hergeleitet und ausführlich erklärt ist das unter Kondensator im Gleichstromkreis.

Zeit	Laden: Anteil von U₀	Entladen: Rest von U₀
0,69 τ	50 %	50 %
1 τ	63,2 %	36,8 %
2 τ	86,5 %	13,5 %
3 τ	95,0 %	5,0 %
5 τ	99,3 %	0,7 %

Nach fünf Zeitkonstanten gilt der Vorgang praktisch als abgeschlossen. Mathematisch erreicht der Kondensator U₀ beim Laden nie ganz und 0 V beim Entladen auch nicht. Deshalb muss die Zielspannung echt zwischen 0 V und U₀ liegen, sonst meldet der Rechner einen Fehler.

So benutzt du ihn

Wähle Laden oder Entladen.
Trage die Ladespannung bzw. die Anfangsspannung U₀ ein, etwa „5 V“ oder „12“.
Gib Widerstand und Kapazität in der Schreibweise aus dem Schaltplan ein: „10k“, „4k7“, „100µ“, „100u“ oder „470n“.
Die Zeit darf mit Vorsatz kommen: „1 s“, „250 ms“ oder „0,5“.
Die Zielspannung ist optional. Lässt du sie leer, entfällt die Zeit bis zur Zielspannung.

Das Diagramm zeigt die Kurve mindestens bis 5 τ. Der blaue Punkt markiert die Spannung nach der eingegebenen Zeit, der grüne die Zielspannung. Die gestrichelte waagrechte Linie liegt bei 63 % (Laden) bzw. 37 % (Entladen) – dort, wo die Kurve die Zeitkonstante schneidet.

Beispiel

Voreingestellt ist das Laden mit 5 V über 10 kΩ in 100 µF, gefragt nach 1 s und der Zielspannung 4 V:

τ = 10 kΩ · 100 µF = 1 s, 5 τ = 5 s
u_C(1 s) = 5 V · (1 − e⁻¹) ≈ 3,16 V
Strom nach 1 s: 5 V / 10 kΩ · e⁻¹ ≈ 184 µA
Zeit bis 4 V: 1 s · ln(5 / 1) ≈ 1,61 s

Genau diese Werte zeigt der Rechner. Schaltest du auf Entladen, sinkt die Spannung in derselben Sekunde von 5 V auf 1,84 V, und 4 V sind schon nach 223 ms erreicht.

Praxis und typische Fehler

Schaltschwellen statt Endwert. Ein Logikeingang schaltet nicht bei U₀, sondern bei seiner Schwelle, oft etwa der halben Versorgungsspannung. Gib diese Schwelle als Zielspannung ein. Der Rechner liefert dann direkt die Verzögerung. Beim 555-Timer liegen die Schwellen bei einem und zwei Dritteln der Versorgung.
Toleranz des Kondensators. Elkos haben oft ±20 % Toleranz, dazu kommt Alterung. Eine RC-Verzögerung ist daher nie genauer als diese Toleranz. Für genaue Zeiten nimmst du Folien- oder C0G-Kondensatoren oder einen Timer-Baustein.
Innenwiderstand und Leckstrom. Die Quelle hat einen eigenen Innenwiderstand, der in Reihe zu R liegt. Ein großer Elko mit sehr großem R (mehrere MΩ) lädt wegen seines Leckstroms unter Umständen nie bis zur Zielspannung.
Entladewiderstand zu groß. Ein Netzteil-Elko mit 400 V soll nach dem Abschalten in vertretbarer Zeit ungefährlich werden. Rechne mit dem Rechner nach, wie lange er bis unter 60 V braucht, und prüfe auch die Verlustleistung des Entladewiderstands mit dem Ohmschen Gesetz.
Den Einschaltstrom vergessen. Im ersten Moment wirkt ein leerer Kondensator wie ein Kurzschluss. Der Strom ist U₀ / R – ohne Widerstand begrenzen ihn nur Leitungen und Quelle.

Dieselbe Zeitkonstante bestimmt auch die Grenzfrequenz eines RC-Filters: f_g = 1 / (2π · τ). Das rechnet der Rechner für die Grenzfrequenz von RC-Tief- und Hochpass; den Zusammenhang erklärt das RC- und RL-Glied. Bei einer Spule läuft der gleiche Vorgang mit τ = L / R ab, nur tauschen Strom und Spannung die Rollen – siehe Spule im Gleichstromkreis.

Häufige Fragen

Wann ist ein Kondensator voll? Streng genommen nie. In der Praxis gilt er nach 5 τ als voll, dann fehlen weniger als 1 %.
Kann ich auch von einer Startspannung über 0 V aus laden? Der Rechner geht von 0 V aus. Startet der Kondensator bei U_S, rechnest du mit der Differenz: Die Kurve beginnt bei U_S und nähert sich U₀ mit derselben Zeitkonstante.
Warum zeigt der Strom beim Entladen kein Minuszeichen? Der Rechner gibt den Betrag an. Beim Entladen fließt der Strom tatsächlich in die andere Richtung aus dem Kondensator heraus.