Zeigerdiagramm und komplexe Rechnung

Sobald Kondensatoren und Spulen im Spiel sind, reicht das Ohmsche Gesetz mit einfachen Zahlen nicht mehr aus: Spannungen und Ströme erreichen ihre Maxima zu unterschiedlichen Zeitpunkten, und Teilspannungen lassen sich nicht einfach addieren. Statt mit Sinuskurven zu rechnen, die gegeneinander verschoben sind, nutzt die Elektrotechnik zwei Werkzeuge: das Zeigerdiagramm, das die Verhältnisse auf einen Blick zeigt, und die komplexe Rechnung, die dasselbe in Zahlen fasst. Beide beruhen auf derselben Idee, und wer sie einmal verstanden hat, rechnet Filter, Schwingkreise und Wechselstromnetze so bequem wie Gleichstromschaltungen.

Vom Sinus zum Zeiger

Eine sinusförmige Größe kannst du dir als Pfeil vorstellen, der sich gleichmäßig gegen den Uhrzeigersinn um seinen Fußpunkt dreht – einmal pro Periode, mit der Kreisfrequenz ω. Die senkrechte Projektion seiner Spitze ergibt zu jedem Zeitpunkt den Augenblickswert der Sinuskurve.

In einer linearen Schaltung mit einer einzigen Frequenz drehen sich alle Zeiger gleich schnell. Ihre Lage zueinander bleibt deshalb immer gleich – und nur auf die kommt es an. Man hält das Bild also gedanklich an und zeichnet die Zeiger in einer festen Lage. Dabei gilt:

• Die Länge des Zeigers steht für den Betrag der Größe. Meist zeichnet man den Effektivwert, seltener den Scheitelwert.
• Der Winkel gegenüber der waagerechten Bezugsachse steht für die Phasenlage. Ein Zeiger, der weiter gegen den Uhrzeigersinn gedreht ist, eilt vor.
• Eine Größe wählst du als Bezug und legst sie waagerecht nach rechts. In der Reihenschaltung ist das meist der gemeinsame Strom, in der Parallelschaltung die gemeinsame Spannung.

Am Widerstand liegen Spannungs- und Stromzeiger übereinander. An der Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus, am Kondensator um 90° hinterher. Diese drei Grundbausteine reichen, um jede Schaltung aus R, L und C zu zeichnen.

Zeiger addieren

Teilspannungen einer Reihenschaltung oder Teilströme einer Parallelschaltung addierst du, indem du die Zeiger aneinanderhängst: Der zweite Zeiger beginnt an der Spitze des ersten, die Summe reicht vom Anfang des ersten bis zur Spitze des letzten. Für die Kirchhoffschen Regeln heißt das: Sie gelten bei Wechselstrom weiterhin – aber für Zeiger, nicht für die Beträge.

Stehen zwei Zeiger senkrecht aufeinander, hilft der Satz des Pythagoras – das kennst du vom Widerstandsdreieck der Impedanz. Bei beliebigen Winkeln wird die Geometrie mühsam. Hier kommt die komplexe Rechnung ins Spiel.

Die komplexe Zahlenebene

Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen: einem Realteil, den du waagerecht aufträgst, und einem Imaginärteil, den du senkrecht aufträgst. Jede Zahl ist damit ein Punkt – oder ein Zeiger – in dieser Gaußschen Zahlenebene. Der Imaginärteil trägt die imaginäre Einheit, die in der Elektrotechnik j heißt, weil i schon für den Strom vergeben ist. Sie ist definiert durch:

Was abstrakt klingt, hat eine anschauliche Bedeutung: Mit j zu multiplizieren dreht einen Zeiger um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Zweimal j dreht um 180° – und ein umgedrehter Zeiger ist genau das Negative, daher j² = −1. Durch j zu teilen (oder mit −j zu multiplizieren) dreht um 90° im Uhrzeigersinn.

Komponentenform und Polarform

Dieselbe komplexe Zahl lässt sich auf zwei Arten schreiben:

• Komponentenform (auch algebraische oder kartesische Form): Z = a + j · b. Du gibst an, wie weit der Zeiger nach rechts und nach oben reicht.
• Polarform (auch Exponential- oder Versorform): Z = |Z| ∠ φ oder gleichwertig |Z| · e^jφ. Du gibst Länge und Winkel an.

Die Umrechnung folgt aus dem rechtwinkligen Dreieck:

Rechenregeln

Welche Form du wählst, hängt von der Rechenart ab:

• Addieren und Subtrahieren geht in der Komponentenform am leichtesten: Realteile und Imaginärteile werden getrennt addiert. (3 + j4) + (1 − j2) = 4 + j2.
• Multiplizieren und Dividieren geht in der Polarform am leichtesten: Beträge werden multipliziert beziehungsweise dividiert, Winkel addiert beziehungsweise subtrahiert. (2 ∠ 30°) · (5 ∠ 45°) = 10 ∠ 75°.

Für die Bauteile ergeben sich damit kompakte Ausdrücke. Der Widerstand ist rein reell, die Spule positiv imaginär, der Kondensator negativ imaginär:

Mit diesen Impedanzen gelten alle Regeln aus der Gleichstromtechnik unverändert: Reihenschaltung Z = Z₁ + Z₂, Parallelschaltung Z = Z₁ · Z₂ / (Z₁ + Z₂), Spannungsteiler, Ohmsches Gesetz U = Z · I.

Ein Beispiel komplett durchgerechnet

Ein Widerstand mit R = 1 kΩ liegt in Reihe mit einem Kondensator C = 100 nF an U = 10 V bei f = 1 kHz. Gesucht sind Strom und Teilspannungen.

Zuerst der Blindwiderstand: X_C = 1 / (2π · 1 kHz · 100 nF) ≈ 1592 Ω. Die Impedanz in Komponentenform ist damit Z = 1000 Ω − j · 1592 Ω. In Polarform:

Die Spannung legst du als Bezug auf 0°: U = 10 V ∠ 0°. Dividieren in Polarform ergibt den Strom:

Der Strom eilt der Spannung also um 57,9° voraus – typisch für eine kapazitive Last. Die Teilspannungen folgen aus U = Z · I:

• Am Widerstand: U_R = 1 kΩ · 5,32 mA ∠ 57,9° = 5,32 V ∠ 57,9°, in Komponentenform 2,83 V + j · 4,50 V.
• Am Kondensator: U_C = 1592 Ω ∠ −90° · 5,32 mA ∠ 57,9° ≈ 8,47 V ∠ −32,1°, in Komponentenform 7,17 V − j · 4,50 V.

Zur Probe addierst du in Komponentenform: (2,83 + 7,17) V + j · (4,50 − 4,50) V = 10 V. Die Imaginärteile heben sich auf, übrig bleibt genau die angelegte Spannung. Die Beträge 5,32 V + 8,47 V = 13,79 V ergeben dagegen deutlich mehr als 10 V – genau deshalb braucht man die Zeiger.

Grenzen der Methode

Zeiger und komplexe Rechnung setzen voraus, dass alle Größen sinusförmig sind und dieselbe Frequenz haben. Für Signale mit mehreren Frequenzen zerlegst du das Signal in seine Oberschwingungen, rechnest jede Frequenz einzeln und überlagerst die Ergebnisse. Für Einschaltvorgänge und nichtlineare Bauteile wie Dioden brauchst du andere Werkzeuge.

Selbsttest