Ein Netzteil brummt, ein Verstärker klingt bei voller Lautstärke kratzig, im Neutralleiter eines Bürogebäudes fließt mehr Strom als in den Außenleitern – hinter all dem stecken Oberschwingungen. Die Idee dahinter stammt vom Mathematiker Joseph Fourier: Jedes periodische Signal, so eckig es auch aussieht, lässt sich aus lauter Sinusschwingungen zusammensetzen. Diese Sichtweise ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Elektronik, denn für reine Sinusschwingungen kennst du bereits alle Rechenregeln.
Grundschwingung und Oberschwingungen
Wiederholt sich ein Signal mit der Frequenz f1, enthält es nach Fourier nur Sinusanteile bei ganzzahligen Vielfachen dieser Frequenz – plus gegebenenfalls einen Gleichanteil:
- Die Grundschwingung hat die Frequenz f1 des Signals selbst.
- Die Oberschwingungen liegen bei 2 · f1, 3 · f1, 4 · f1 und so weiter. Ihre Amplituden und Phasenlagen bestimmen die Kurvenform.
Man nennt alle diese Anteile auch Harmonische und nummeriert sie nach dem Vielfachen: Die Grundschwingung ist die 1. Harmonische, der Anteil bei 3 · f1 die 3. Harmonische. Bei 50 Hz Netzfrequenz liegt die 3. Harmonische also bei 150 Hz, die 5. bei 250 Hz.
Der umgangssprachliche Begriff „Oberwellen“ meint dasselbe wie Oberschwingungen. Ein reiner Sinus ist das einzige periodische Signal ganz ohne Oberschwingungen.
Das Rechteck aus ungeraden Harmonischen
Das bekannteste Beispiel ist das symmetrische Rechtecksignal. Es enthält nur ungerade Harmonische, deren Amplituden mit der Ordnungszahl abnehmen: Die 3. Harmonische hat ein Drittel, die 5. ein Fünftel der Amplitude der Grundschwingung. Für ein Rechteck, das zwischen +Û und −Û springt, gilt:
Bemerkenswert: Die Grundschwingung ist mit 4 / π ≈ 1,27 höher als das Rechteck selbst. Erst die Oberschwingungen drücken die Kuppen herunter und steilen die Flanken auf.
Je mehr Harmonische du addierst, desto steiler werden die Flanken und desto flacher das Dach. An den Sprungstellen bleibt allerdings immer ein Überschwinger von rund 9 % der Sprunghöhe stehen, der mit mehr Gliedern nur schmaler, aber nicht kleiner wird (Gibbssches Phänomen).
Andere Kurvenformen haben andere Rezepte. Ein symmetrisches Dreieck enthält ebenfalls nur ungerade Harmonische, die aber mit dem Quadrat der Ordnungszahl abfallen – es ist dem Sinus deshalb schon sehr ähnlich. Ein Sägezahn enthält dagegen alle Harmonischen, gerade und ungerade, mit Amplituden proportional zu 1 / n. Faustregel: Signale, deren negative Halbwelle das Spiegelbild der positiven ist, kommen ohne gerade Harmonische aus.
Das Spektrum
Statt die Spannung über der Zeit zu zeichnen, kannst du die Amplituden der einzelnen Harmonischen über der Frequenz auftragen. Das ist das Spektrum des Signals. Für periodische Signale besteht es aus einzelnen Linien – man spricht vom Linienspektrum.
Den Weg vom Zeitsignal zum Spektrum nennt man Fourier-Analyse, den umgekehrten Fourier-Synthese. Messtechnisch erledigt das ein Spektrumanalysator oder die FFT-Funktion (Fast Fourier Transform) eines digitalen Oszilloskops. Sie zerlegt das abgetastete Signal rechnerisch und zeigt die Pegel üblicherweise in Dezibel über der Frequenz.
Die Spektralsicht erklärt viele praktische Effekte:
- Filter verändern Kurvenformen: Schickst du ein Rechteck durch einen Tiefpass, werden die hohen Harmonischen gedämpft, und die Flanken runden sich ab. Bleibt nur die Grundschwingung übrig, kommt am Ausgang ein Sinus heraus.
- Steile Flanken strahlen ab: Die Oberschwingungen eines schnellen Digitalsignals reichen weit in den Megahertz- und Gigahertzbereich. Sie sind eine Hauptursache für Störaussendungen und ein zentrales Thema der EMV.
- Bandbreite von Messgeräten: Ein Oszilloskop zeigt ein Rechteck nur dann sauber, wenn seine Bandbreite ein Vielfaches der Signalfrequenz beträgt – sonst fehlen ihm die Harmonischen, aus denen die Flanken bestehen.
Klirrfaktor und THD
Läuft ein reiner Sinus durch eine nichtlineare Stufe – einen übersteuerten Verstärker, einen Transformator in der Sättigung, eine Diode –, entstehen neue Frequenzen, die vorher nicht da waren. Diese nichtlinearen Verzerrungen misst man über den Oberschwingungsgehalt. Am gebräuchlichsten ist die THD (Total Harmonic Distortion): der Effektivwert aller Oberschwingungen bezogen auf die Grundschwingung.
Der klassische deutsche Klirrfaktor k bezieht dieselbe Summe dagegen auf den Effektivwert des Gesamtsignals einschließlich Grundschwingung. Für kleine Verzerrungen bis etwa 10 % sind beide Werte fast gleich, bei großen Verzerrungen ist k deutlich kleiner als die THD.
Zum Einordnen: Ein ideales Rechteck hat eine THD von rund 48 %, ein symmetrisches Dreieck rund 12 %. Gute Audioverstärker liegen bei Nennleistung weit unter 0,1 %. Für die Netzspannung erlaubt die Norm zur Spannungsqualität (EN 50160) eine THD von bis zu 8 %.
Oberschwingungen im Stromnetz
Ein ohmscher Verbraucher zieht einen sinusförmigen Strom. Viele moderne Geräte tun das nicht: Ein Netzteil mit Brückengleichrichter und Ladekondensator lädt den Kondensator nur in kurzen Stromspitzen nahe dem Scheitelwert der Netzspannung nach. Dieser impulsförmige Strom enthält kräftige 3., 5., 7. und weitere ungerade Harmonische.
Diese Oberschwingungsströme bleiben nicht im Gerät. Sie fließen durch die Leitungen und Transformatoren des Netzes und erzeugen an deren Impedanz Spannungsabfälle – auch die Netzspannung wird verzerrt, und zwar für alle anderen Verbraucher am selben Strang. Man spricht von Netzrückwirkungen. Die Folgen reichen von zusätzlicher Erwärmung in Transformatoren und Motoren über das Auslösen von Schutzgeräten bis zu Resonanzen mit Kompensationskondensatoren. Auch der Leistungsfaktor sinkt, obwohl der Strom gar nicht phasenverschoben ist.
Im Drehstromnetz kommt ein Sonderfall hinzu: Die Grundschwingungen der drei Außenleiter heben sich im Neutralleiter auf, die 3. Harmonischen aber nicht. Sie sind in allen drei Leitern gleichphasig und addieren sich. Bei vielen Netzteilen im Gebäude kann der Neutralleiter deshalb stärker belastet sein als jeder einzelne Außenleiter.
Gegenmaßnahmen gibt es auf beiden Seiten. Geräte bis 16 A je Leiter und mit mehr als 75 W Leistungsaufnahme müssen Grenzwerte für Oberschwingungsströme einhalten (EN 61000-3-2); Netzteile erreichen das mit einer aktiven Leistungsfaktorkorrektur (PFC), die einen nahezu sinusförmigen Strom zieht. In Industrieanlagen kommen Saugkreise – auf eine Harmonische abgestimmte Schwingkreise – oder aktive Filter zum Einsatz.
Selbsttest
Bei welchen Frequenzen liegen die ersten drei Oberschwingungen eines 50-Hz-Signals?
Bei 100 Hz, 150 Hz und 200 Hz (2., 3. und 4. Harmonische).
Welche Harmonischen enthält ein symmetrisches Rechtecksignal?
Nur ungerade: die 1., 3., 5., 7. usw., mit Amplituden proportional zu 1/n.
Wie groß ist die 5. Harmonische eines Rechtecks, dessen Grundschwingung 10 V Amplitude hat?
10 V / 5 = 2 V.
Eine Spannung hat 2 % 3. und 1,5 % 5. Harmonische. Wie groß ist die THD?
√(22 + 1,52) % = √6,25 % = 2,5 %.
Warum kann der Neutralleiter im Drehstromnetz überlastet werden, obwohl die Außenleiter symmetrisch belastet sind?
Die 3. Harmonischen der drei Außenleiter sind gleichphasig und heben sich nicht auf, sondern addieren sich im Neutralleiter.