Impedanz (Scheinwiderstand)

In echten Schaltungen kommen Widerstände, Kondensatoren und Spulen fast immer gemeinsam vor – und selbst ein einzelnes Bauteil hat parasitäre Anteile. Der gesamte Widerstand, den eine solche Kombination einem Wechselstrom entgegensetzt, heißt Impedanz oder Scheinwiderstand, Formelzeichen Z. Sie verbindet den Wirkwiderstand R (Resistanz) mit dem Blindwiderstand X (Reaktanz) und sagt dir neben dem Betrag auch, wie weit Strom und Spannung gegeneinander verschoben sind. Die Reaktanz einer Spule heißt auch Induktanz, die eines Kondensators Kapazitanz. Ein typischer Verbraucher mit Impedanz ist der Lautsprecher: Seine Schwingspule hat Drahtwiderstand und Induktivität, und die aufgedruckten „8 Ω“ sind ein Nennwert, der nur in einem Teil des Frequenzbereichs gilt.

Warum man nicht einfach addieren darf

Schaltest du einen 300-Ω-Widerstand und einen Kondensator mit X_C = 400 Ω in Reihe, ist der Gesamtwiderstand nicht 700 Ω. Der Grund: Die Spannungen an beiden Bauteilen erreichen ihre Maxima nicht gleichzeitig. Am Widerstand ist die Spannung in Phase mit dem Strom, am Kondensator um 90° verschoben. Zwei um 90° versetzte Sinusgrößen addieren sich wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks – geometrisch, nicht arithmetisch.

Deshalb zeichnet man Wirk- und Blindwiderstand als Zeiger im rechten Winkel zueinander: R waagerecht, X senkrecht. Die Impedanz ist die Hypotenuse.

Reihenschaltung

In der Reihenschaltung fließt durch alle Bauteile derselbe Strom. Die Blindwiderstände von Spule und Kondensator wirken entgegengesetzt und ziehen sich voneinander ab:

Ist X positiv, überwiegt die Spule (Strom eilt nach), ist X negativ, überwiegt der Kondensator (Strom eilt vor). Mit der Impedanz rechnest du dann wie mit dem Ohmschen Gesetz: I = U / Z.

Umgekehrt kannst du den Betrag der Impedanz messen: Effektivwerte von Spannung und Strom bestimmen und teilen, Z = U / I. Das liefert den vollen Scheinwiderstand, aber nicht seine Aufteilung in R und X – dafür brauchst du zusätzlich den Phasenwinkel, etwa mit dem Oszilloskop oder einem LCR-Messgerät.

Parallelschaltung

In der Parallelschaltung liegt an allen Zweigen dieselbe Spannung, die Ströme addieren sich geometrisch. Hier rechnet man bequemer mit Kehrwerten, den Leitwerten: Wirkleitwert G = 1/R, Blindleitwert B = 1/X und Scheinleitwert Y = 1/Z (siehe Widerstand und Leitwert):

Resonanz

Wenn in einer Reihenschaltung X_L = X_C ist, heben sich die Blindwiderstände genau auf. Die Impedanz wird minimal und gleich R, Strom und Spannung sind in Phase. Das passiert bei der Resonanzfrequenz:

Im Parallelschwingkreis ist es umgekehrt: Bei Resonanz wird die Impedanz maximal. Schwingkreise sind die Grundlage von Funkempfängern, Quarzoszillatoren und vielen Filtern. In Stromversorgungen sind ungewollte Resonanzen dagegen gefürchtet, etwa zwischen Abblockkondensatoren und Leitungsinduktivitäten.

Komplexe Schreibweise

Für Berechnungen mit vielen Bauteilen ist die komplexe Rechnung praktisch. Der Wirkwiderstand ist der Realteil, der Blindwiderstand der Imaginärteil; in der Elektrotechnik schreibt man j für die imaginäre Einheit, weil i schon für den Strom vergeben ist:

Damit gelten die Regeln der Reihenschaltung und Parallelschaltung unverändert – nur eben mit komplexen Zahlen. Betrag und Winkel des Ergebnisses sind Scheinwiderstand und Phasenwinkel. Auch Kennwerte wie der Wellenwiderstand einer Leitung oder die Ein- und Ausgangsimpedanz eines Verstärkers sind Impedanzen in diesem Sinn.

Eingangs- und Ausgangsimpedanz

Verbindest du zwei Schaltungsteile, bilden die Ausgangsimpedanz der Quelle und die Eingangsimpedanz der Last einen Spannungsteiler. Daraus ergeben sich zwei typische Ziele:

• Spannung übertragen: Die Eingangsimpedanz der Last soll viel größer sein als die Ausgangsimpedanz der Quelle, damit kaum Spannung an der Quelle verloren geht. Faustregel: mindestens Faktor 10. Reicht das nicht, schaltest du einen Impedanzwandler dazwischen, etwa einen Spannungsfolger mit Operationsverstärker.
• Leistung übertragen: Die größte Leistung kommt an, wenn die Lastimpedanz der Quellimpedanz entspricht – bei Blindanteilen genauer: gleicher Wirkanteil, entgegengesetzter Blindanteil. Diese Leistungsanpassung nutzt man in der HF-Technik, etwa bei 50-Ω-Antennenleitungen. Der Wirkungsgrad liegt dabei aber nur bei 50 %, weil die Hälfte der Leistung im Innenwiderstand bleibt; in der Energietechnik will man sie deshalb gerade nicht.

Selbsttest