Blindwiderstand und Impedanz

Bei Gleichstrom ist die Sache einfach: Ein Kondensator sperrt, eine Spule leitet. Bei Wechselstrom haben beide einen Widerstand, der von der Frequenz abhängt – den Blindwiderstand. Schaltest du sie mit einem ohmschen Widerstand in Reihe, ergibt sich eine Gesamtimpedanz, die du nicht einfach addieren darfst. Der Rechner nimmt dir das ab: Er liefert beide Blindwiderstände, die Impedanz einer RC- oder RL-Reihenschaltung, den Phasenwinkel und auf Wunsch Strom und Teilspannungen.

So rechnet der Rechner

Der kapazitive Blindwiderstand sinkt mit der Frequenz, der induktive steigt:

In einer Reihenschaltung fließt durch R und den Blindwiderstand X derselbe Strom. Die Spannung am Widerstand ist mit dem Strom in Phase, die am Kondensator oder an der Spule um 90° verschoben. Deshalb addieren sich die Widerstände wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, also geometrisch. Die Impedanz ist die Hypotenuse:

Der Phasenwinkel φ gibt an, um wie viel die Gesamtspannung gegenüber dem Strom verschoben ist. Der Rechner gibt ihn mit Vorzeichen an:

• R + C: φ ist negativ. Der Strom eilt der Spannung voraus.
• R + L: φ ist positiv. Der Strom hinkt der Spannung hinterher.

Gibst du eine Spannung U an, folgen Strom und Teilspannungen nach dem ohmschen Gesetz:

Das Bild dazu ist das Zeigerdiagramm: U_R und U_X stehen senkrecht aufeinander, ihre Summe ist U.

So benutzt du ihn

1. Wähle oben die Schaltung: R + C oder R + L in Reihe.
2. Gib die Frequenz ein, etwa „50 Hz“, „1 kHz“ oder „2,4G“.
3. Trage Kapazität und Induktivität ein, zum Beispiel „100n“, „4,7 µ“ oder „10 mH“. Beide Blindwiderstände werden immer berechnet, die Reihenschaltung nutzt den passenden.
4. Gib den Widerstand an, etwa „1k“ oder „4k7“. Ohne ihn zeigt der Rechner nur die Blindwiderstände.
5. Die Spannung ist optional. Ob du Effektiv- oder Scheitelwerte eingibst, ist egal – die Ergebnisse sind dann von derselben Art. Wie die beiden zusammenhängen, erklärt Effektivwert.

Beispiel

Voreingestellt sind 1 kHz, 100 nF, 10 mH, 1 kΩ und 10 V, geschaltet als R + C:

• X_C = 1 / (2π · 1 kHz · 100 nF) ≈ 1,59 kΩ
• X_L = 2π · 1 kHz · 10 mH ≈ 62,8 Ω
• |Z| = √( (1 kΩ)² + (1,59 kΩ)² ) ≈ 1,88 kΩ
• φ = −arctan(1,59 kΩ / 1 kΩ) ≈ −57,9°
• I = 10 V / 1,88 kΩ ≈ 5,32 mA, damit U_R ≈ 5,32 V und U_C ≈ 8,47 V

Das zeigt auch der Rechner. Die beiden Teilspannungen ergeben zusammen 13,79 V – mehr als die angelegten 10 V. Das ist kein Fehler: √(5,32² + 8,47²) ≈ 10. Die Spannungen addieren sich geometrisch.

Schaltest du auf R + L um, wirkt nur der kleine induktive Blindwiderstand von 62,8 Ω. Die Impedanz bleibt fast bei 1 kΩ, der Phasenwinkel beträgt nur +3,6°, und der Strom steigt auf 9,98 mA.

Wie die Frequenz alles verändert

Bei jeder Verzehnfachung der Frequenz wird X_C zehnmal kleiner und X_L zehnmal größer. Bei der Frequenz, bei der R und X gleich groß sind, beträgt der Phasenwinkel genau 45°. Das ist die Grenzfrequenz eines RC- oder RL-Filters – mehr dazu im Rechner für die Grenzfrequenz von RC-Tief- und Hochpass. Sind X_L und X_C gleich groß, liegt Resonanz vor; die Frequenz dazu liefert der LC-Schwingkreis-Rechner.

Praxis und typische Fehler

• Phasenwinkel und Leistung. Nur der Wirkwiderstand setzt Leistung in Wärme um. Am Blindwiderstand pendelt die Energie hin und her. Der Kosinus des Phasenwinkels ist der Leistungsfaktor; die pendelnde Leistung heißt Blindleistung.
• Abblockkondensatoren bei falscher Frequenz bewerten. Ein 100-nF-Kondensator hat bei 50 Hz rund 32 kΩ, bei 10 MHz nur noch 0,16 Ω. Er wirkt also erst bei hohen Frequenzen. Ab einer gewissen Frequenz macht sich jedoch seine eigene Anschlussinduktivität bemerkbar.
• Reale Bauteile. Der Rechner nimmt ideale Bauteile an. Eine echte Spule hat einen Drahtwiderstand, der bei niedrigen Frequenzen überwiegen kann. Ein Elko hat einen Serienwiderstand (ESR). Rechne diese Verluste bei Bedarf zu R hinzu.
• Nur Sinus. Die Formeln gelten für sinusförmige Spannungen. Ein Rechtecksignal enthält viele Frequenzen gleichzeitig, für jede gilt ein anderer Blindwiderstand.

Die Spule für die Rechnung bestimmst du mit dem Rechner für die Induktivität einer Spule. Pegelverhältnisse in Dezibel rechnest du mit dem Dezibel-Rechner um.

Häufige Fragen

• Ist Impedanz dasselbe wie Scheinwiderstand? Im Alltag ja. Streng genommen ist die Impedanz die komplexe Größe Z = R + jX und der Scheinwiderstand ihr Betrag |Z|, den der Rechner anzeigt.
• Warum hat der Kondensator einen negativen Phasenwinkel? Er muss erst geladen werden, bevor an ihm Spannung anliegt. Der Strom fließt also zuerst, die Spannung folgt. Bei der Spule ist es umgekehrt.
• Kann ich auch eine Parallelschaltung rechnen? Nicht direkt. Bei der Parallelschaltung addierst du die Leitwerte geometrisch. Wie das geht, steht unter Impedanz.
• Was ist mit R, L und C zusammen in Reihe? Dann ist X = X_L − X_C. Setze den Betrag dieser Differenz in die Formel für |Z| ein. Ist X_L größer, verhält sich die Schaltung induktiv, sonst kapazitiv.