Im Schulunterricht wirkt der Logarithmus oft wie eine Übung ohne Zweck. In der Elektronik dagegen stolperst du ständig über ihn: Jede Angabe in Dezibel ist ein Logarithmus, jedes Frequenzdiagramm im Datenblatt hat eine logarithmische Achse, die Werte der E-Reihen sind logarithmisch verteilt, und sobald du wissen willst, wann ein Kondensator eine bestimmte Spannung erreicht, kommst du ohne ln nicht weiter. Dieser Artikel zeigt dir das nötige Handwerkszeug – nicht mehr, als du am Arbeitstisch tatsächlich brauchst.
Was der Logarithmus ausrechnet
Potenzieren fragt: Was kommt heraus, wenn ich die Basis b x-mal mit sich selbst multipliziere? Der Logarithmus stellt die umgekehrte Frage: Wie oft muss ich b mit sich selbst multiplizieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?
103 = 1000, also ist log10(1000) = 3. 210 = 1024, also ist log2(1024) = 10. Der Logarithmus zählt damit gewissermaßen die Nullen – oder allgemeiner die Stellen in einem Zahlensystem mit der Basis b.
Daraus folgen ein paar Werte, die immer gelten: logb(1) = 0, weil b0 = 1, und logb(b) = 1. Für Zahlen zwischen 0 und 1 ist der Logarithmus negativ, etwa log10(0,01) = -2. Den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl gibt es nicht – keine Potenz einer positiven Basis wird null oder negativ.
Drei Logarithmen, drei Taschenrechnertasten
| Name | Schreibweise | Basis | wo du ihn brauchst |
|---|---|---|---|
| Zehnerlogarithmus | lg oder log | 10 | Dezibel, Dekaden, Zehnerpotenzen |
| natürlicher Logarithmus | ln | e ≈ 2,718 | Lade- und Entladevorgänge, Diodenkennlinie |
| Zweierlogarithmus | lb oder ld | 2 | Bits, Auflösung von Wandlern, Zahlensysteme |
Die Zahl e ist die eulersche Zahl. Sie taucht überall auf, wo eine Größe sich proportional zu ihrem eigenen momentanen Wert ändert – genau das passiert beim Laden eines Kondensators über einen Widerstand.
Taschenrechner haben meist nur „log“ und „ln“. Jeden anderen Logarithmus bekommst du über den Basiswechsel:
Zwischen ln und lg rechnest du mit einem festen Faktor um: ln(x) ≈ 2,303 · lg(x).
Die Rechenregeln
Der eigentliche Nutzen des Logarithmus: Er macht aus schwierigen Rechenarten einfachere. Aus Multiplikation wird Addition, aus Division Subtraktion, aus Potenzieren Multiplikation.
Diese Regeln gelten für jede Basis. Mit ihnen und drei auswendig gelernten Werten – lg(2) ≈ 0,301, lg(3) ≈ 0,477, lg(5) ≈ 0,699 – kommst du erstaunlich weit ohne Taschenrechner:
- lg(2000) = lg(2) + lg(1000) = 0,301 + 3 = 3,301
- lg(0,5) = lg(1) - lg(2) = -0,301
- lg(8) = lg(23) = 3 · 0,301 = 0,903
Vom Logarithmus zum Dezibel
Das Dezibel ist nichts anderes als der Zehnerlogarithmus eines Leistungsverhältnisses, mit 10 multipliziert. Weil die Leistung mit dem Quadrat der Spannung wächst, wird aus der Potenzregel bei Spannungsverhältnissen der Faktor 20:
Der Logarithmus erklärt auch eine Faustregel aus der Wandlertechnik: Jedes zusätzliche Bit verdoppelt die Zahl der Stufen und verbessert den möglichen Dynamikumfang um 20 · lg(2) ≈ 6 dB. Ein 16-Bit-Wandler kommt damit auf rund 96 dB. Wie Verstärkungen und Dämpfungen in längeren Ketten zusammenspielen, zeigt Verstärkung und Dämpfung.
Logarithmische Skalen und Achsen
Viele Größen in der Elektronik reichen über mehrere Zehnerpotenzen: Frequenzen von 10 Hz bis 100 kHz, Ströme von Nanoampere bis Ampere. Auf einer linearen Achse würde alles unterhalb eines Zehntels des Maximums zu einem Strich am Rand zusammengedrückt. Eine logarithmische Achse trägt deshalb nicht den Wert selbst, sondern seinen Logarithmus auf. Jeder Faktor 10 – eine Dekade – bekommt denselben Platz.
Innerhalb einer Dekade liegen die Zwischenwerte nicht gleichmäßig. Die 2 sitzt bei lg(2) ≈ 30 % der Dekadenbreite, die 5 bei lg(5) ≈ 70 %. Deshalb drängen sich die Teilstriche zum oberen Ende jeder Dekade hin. Und eine Null gibt es auf einer logarithmischen Achse nicht – sie läge unendlich weit links.
Das typische Beispiel ist das Bode-Diagramm: Waagerecht die Frequenz logarithmisch, senkrecht die Verstärkung in dB – also ebenfalls logarithmisch. Auf diesem doppelt logarithmischen Papier werden die Kurven von Filtern zu fast geraden Linien.
Auch die E-Reihen sind logarithmisch aufgebaut. In der E6-Reihe ist jeder Wert um denselben Faktor 101/6 ≈ 1,47 größer als sein Vorgänger, in der E12-Reihe um 101/12 ≈ 1,21. Auf einer logarithmischen Achse stehen die Werte einer Dekade deshalb in gleichen Abständen – jeder Widerstand deckt mit seiner Toleranz ein gleich großes Stück ab.
Die e-Funktion bei Lade- und Entladekurven
Lädst du einen Kondensator über einen Widerstand, steigt seine Spannung nach einer e-Funktion an, beim Entladen fällt sie nach einer e-Funktion ab. Die Zeitkonstante τ = R · C bestimmt das Tempo (ausführlich im Artikel Kondensator an Gleichspannung):
Damit rechnest du aus, welche Spannung nach einer bestimmten Zeit anliegt. In der Praxis willst du aber meist das Umgekehrte wissen: Nach welcher Zeit ist eine bestimmte Schwelle erreicht? Weil ln die Umkehrung von ex ist, löst du dafür nach t auf:
Ein paar Ergebnisse dieser Formel solltest du kennen:
| Ereignis | Zeit |
|---|---|
| Hälfte der Spannung erreicht (Laden) bzw. auf die Hälfte gefallen (Entladen) | τ · ln(2) ≈ 0,69 τ |
| zwei Drittel erreicht (Timer NE555, monostabil) | τ · ln(3) ≈ 1,1 τ |
| auf 1 % entladen bzw. auf 99 % geladen | τ · ln(100) ≈ 4,6 τ |
Auch die Diodenkennlinie folgt einer e-Funktion. Umgedreht heißt das: Bei Raumtemperatur steigt die Durchlassspannung einer idealen Diode pro Verzehnfachung des Stroms nur um etwa 60 mV, bei realen Dioden um etwa 60 bis 120 mV. Darum wirkt die Flussspannung in der Kennlinie des pn-Übergangs so konstant.
Selbsttest
Wie groß ist lg(0,001)?
−3, denn 10-3 = 0,001.
Berechne lg(50) ohne Taschenrechner.
lg(50) = lg(5) + lg(10) = 0,699 + 1 = 1,699.
Ein Signal fällt von 4 V auf 40 mV. Wie viele dB sind das?
Faktor 0,01, also 20 · lg(0,01) = 20 · (-2) = -40 dB.
Wo liegt der Wert 3 innerhalb einer Dekade auf einer logarithmischen Achse?
Bei lg(3) ≈ 48 % der Dekadenbreite, also fast in der Mitte.
Ein Kondensator (τ = 2 ms) entlädt sich von 12 V. Wann unterschreitet er 3 V?
t = 2 ms · ln(12 V / 3 V) = 2 ms · ln(4) ≈ 2,8 ms.