Differenzierer

Ein Differenzierer liefert am Ausgang nicht die Eingangsspannung selbst, sondern wie schnell sie sich ändert. Steigt sie gleichmäßig, steht am Ausgang eine konstante Spannung; bleibt sie stehen, liefert er null. Er ist das Gegenstück zum Integrator: Was der eine aufsummiert, nimmt der andere wieder auseinander.

Gebraucht wird er als D-Anteil in Reglern, zur Erkennung schneller Änderungen (etwa eines plötzlichen Druckabfalls), zum Messen von Steigungen und in der Signalformung. Er hat aber einen Ruf als Diva: In seiner Lehrbuchform schwingt er fast immer und verstärkt jedes Rauschen. Hier baust du ihn so, dass er funktioniert. Als Beispiel machst du aus dem Dreieck, das der Integrator liefert, wieder ein Rechteck.

Schaltplan

• IC1A, MCP6002: Rail-to-Rail-OPV an 5 V, 1 MHz GBW.
• C1, 10 nF: der differenzierende Kondensator. Er lässt nur Strom durch, solange sich die Spannung an ihm ändert.
• R2, 24 kΩ: wandelt diesen Strom in die Ausgangsspannung.
• R1, 820 Ω: begrenzt die Verstärkung für hohe Frequenzen.
• C2, 330 pF: nimmt die Verstärkung oberhalb von 20 kHz zurück.
• R3, R4, C3: erzeugen 2,5 V als Bezug, damit der Ausgang an einer Versorgung in beide Richtungen ausschlagen kann.

So funktioniert die Schaltung

Der Minus-Eingang wird vom OPV auf 2,5 V gehalten. Ändert sich die Eingangsspannung, ändert sich auch die Spannung an C1, und durch ihn fließt der Strom

In den OPV kann dieser Strom nicht. Er fließt durch R2, und der Ausgang stellt sich auf

Eine fallende Flanke des Dreiecks liefert also einen festen positiven Ausgang, eine steigende einen festen negativen. Das Ergebnis ist ein Rechteck. Gleichspannung kommt durch C1 gar nicht durch; der Ausgang bleibt dann auf 2,5 V.

Warum der Lehrbuch-Differenzierer schwingt

Ohne R1 und C2 wächst die Verstärkung des Differenzierers mit der Frequenz immer weiter, um 20 dB pro Dekade. Die Verstärkung des OPVs fällt dagegen ab einigen Hertz mit 20 dB pro Dekade. Bei etwa 26 kHz kreuzen sich beide Kurven. Dort hat die Rückkopplung durch C1 und R2 die Phase um fast 90° gedreht, der OPV selbst noch einmal um 90°: Aus Gegenkopplung wird Mitkopplung, die Schaltung schwingt oder klingelt nach jeder Flanke. Das Bode-Diagramm zeigt es deutlich:

R1 in Reihe zu C1 und C2 parallel zu R2 knicken die Kurve um, bevor sie die des OPVs erreicht. Nebenbei hören sie auf, Rauschen bei hohen Frequenzen zu verstärken: Statt 84 dB bei 10 MHz bleibt es bei weniger als 0 dB.

Dimensionierung

1. Zeitkonstante. Das Dreieck vom Integrator ändert sich mit 2 V pro 0,5 ms, also 4 V/ms. Der Ausgang soll um etwa ±1 V ausschlagen:

Mit C1 = 10 nF wird R2 = 25 kΩ, nächster E24-Wert 24 kΩ. Die Zeitkonstante ist dann 0,24 ms, und der Ausgang schlägt um 4 V/ms · 0,24 ms = 0,96 V aus: zwischen 1,54 und 3,46 V.

2. Schnittpunkt abschätzen. Ohne Gegenmaßnahmen kreuzt der Differenzierer die Leerlaufverstärkung bei

3. R1 und C2. Beide sollen die Verstärkung unterhalb dieser Frequenz abknicken, aber weit über den Frequenzen, die das Signal braucht. Mit einer Eckfrequenz um 20 kHz:

Die Eckfrequenzen liegen bei 19,4 und 20,1 kHz. Die höchste Verstärkung bleibt mit 23 dB weit unter der Leerlaufverstärkung des OPVs, der Abstand wächst nicht mehr. Bei 1 kHz liegt die Verstärkung mit 3,50 dB nur 0,07 dB unter der des idealen Differenzierers.

4. Prüfen. Die Flanken des Rechtecks dauern einige 10 µs, sie werden durch die beiden Eckfrequenzen gerundet. Die Ausgangsänderung von 1,9 V in etwa 30 µs entspricht 0,06 V/µs, der MCP6002 schafft 0,6 V/µs. Die Quelle sieht bei 1 kHz eine Impedanz von rund 16 kΩ, im ungünstigsten Fall, bei sehr steilen Flanken, nur R1 mit 820 Ω.

Grenzfrequenzen solcher RC-Paare rechnest du mit RC-Grenzfrequenz berechnen nach.

Bauteilliste

Varianten

Flankendetektor. Wird ein Rechteck statt eines Dreiecks differenziert, entstehen an jeder Flanke kurze Nadelimpulse. Ein nachgeschalteter Komparator mit Hysterese macht daraus saubere Schaltsignale, etwa um schnelle Druckabfälle zu melden.

Passiver Differenzierer. Für digitale Flanken genügt oft ein einfaches RC-Glied ohne OPV, siehe Differenzierglied und Integrierglied. Es liefert aber nur so lange die Ableitung, wie seine Ausgangsspannung klein gegen die Eingangsspannung bleibt.

Hochpass statt Differenzierer. Mathematisch ist der Differenzierer mit R1 und C2 ein Bandpass. Liegt die Signalfrequenz oberhalb von 1/(2π R₁ C₁), wird aus ihm ein invertierender Hochpass. Ausgefeilte Varianten zeigt der aktive Hochpass.

Digital ableiten. Oft ist es einfacher, das Signal mit dem ADC zu messen und die Ableitung im Programm als Differenz zweier Messwerte zu bilden. Dafür braucht es ein vorher gefiltertes, rauscharmes Signal.

Typische Fehler

• Ausgang klingelt oder schwingt: R1 fehlt. Am Oszilloskop siehst du eine gedämpfte Schwingung nach jeder Flanke, oft um 20 bis 50 kHz, oder ein Dauerschwingen.
• Rauschen dominiert: Der Differenzierer verstärkt hohe Frequenzen; eingestreute Störungen von Schaltreglern oder Leitungen werden zu großen Spitzen. C2 und eine saubere Masse helfen.
• Ausgang am Anschlag: Der Eingang ändert sich schneller als gedacht. Eine Flanke von 2 V in 1 µs ergibt rechnerisch 2 V/µs · 0,24 ms = 480 V – der Ausgang schlägt sofort an. Rechteckeingänge nur mit großem R1 oder hinter einem Tiefpass anlegen.
• Kein Ausgang: Der Eingang ändert sich zu langsam. Ein Sensor, der sich um 1 V pro Sekunde ändert, liefert hier nur 1 V/s · 0,24 ms = 0,24 mV. Die Zeitkonstante muss zur erwarteten Änderungsgeschwindigkeit passen.
• Falsche Kondensatoren: Ein Y5V-Keramikkondensator als C1 ändert seinen Wert mit Temperatur und Spannung stark. Folie oder C0G nehmen; Hintergründe unter Operationsverstärker in der Praxis.

Selbsttest