Integrator

Ein Integrator summiert seine Eingangsspannung über die Zeit auf. Liegt am Eingang eine konstante Spannung, läuft der Ausgang mit konstanter Steigung davon; wechselt die Eingangsspannung ihr Vorzeichen, kehrt sich auch die Steigung um. Aus einem Rechteck wird so ein sauberes Dreieck, aus einem kurzen Impuls eine Stufe, deren Höhe die Fläche des Impulses misst.

Integratoren stecken in Funktionsgeneratoren, in Dual-Slope-ADCs von Multimetern, in PI-Reglern und in aktiven Filtern. Das passive RC-Glied integriert zwar auch, aber nur, solange seine Ausgangsspannung klein bleibt. Mit einem Operationsverstärker wird die Rampe exakt linear. Hier baust du einen Integrator, der aus dem 1-kHz-Rechteck eines Mikrocontrollers ein Dreieck mit 2 V Spitze-Spitze macht.

Schaltplan

• IC1A, MCP6002: Rail-to-Rail-OPV an 5 V.
• R1, 6,2 kΩ: setzt die Eingangsspannung in einen Strom um.
• C1, 100 nF: der Integrationskondensator. Der Strom durch R1 lädt ihn.
• R2, 100 kΩ: begrenzt die Verstärkung für Gleichspannung und hält den Ausgang in der Mitte.
• C3, 10 µF: Koppelkondensator. Er trennt den Gleichanteil des Rechtecks ab.
• R3, R4, C2: erzeugen 2,5 V, die halbe Versorgung, als Bezug.

So funktioniert die Schaltung

Wie beim invertierenden Verstärker hält der OPV seinen Minus-Eingang auf der Spannung des Plus-Eingangs, hier 2,5 V. Ist der Rechteck-Eingang auf 5 V, liegen 2,5 V an R1, und es fließt ein konstanter Strom von 2,5 V / 6,2 kΩ ≈ 0,40 mA in den Knoten. In den OPV kann er nicht, also fließt er in C1. Ein Kondensator, der mit konstantem Strom geladen wird, ändert seine Spannung linear:

Weil die linke Seite von C1 auf 2,5 V festgehalten wird, muss der Ausgang die ganze Änderung übernehmen. Er fällt mit der Steigung

Fällt der Rechteck auf 0 V, liegt −2,5 V an R1, der Strom kehrt sich um, und der Ausgang steigt mit derselben Steigung wieder. Das Ergebnis ist ein symmetrisches Dreieck um 2,5 V.

Beim passiven RC-Glied wird der Ladestrom kleiner, je voller der Kondensator ist, und die Kurve biegt ab (siehe Kondensator im Gleichstromkreis). Hier bleibt die Spannung an R1 konstant, und mit ihr der Strom – deshalb ist die Rampe eine Gerade.

Dimensionierung

1. Amplitude. Jede Rampe dauert eine halbe Periode, bei 1 kHz also 0,5 ms. Für 2 V Spitze-Spitze:

Mit C1 = 100 nF wird R1 = 6,25 kΩ; der nächste Wert der E24-Reihe ist 6,2 kΩ. Daraus folgen 2,5 V · 0,5 ms / 0,62 ms ≈ 2,02 V Spitze-Spitze, also 1,49 bis 3,51 V.

2. Weglaufen verhindern. Ein idealer Integrator verstärkt Gleichspannung unendlich. Schon 1 mV Offset würde den Ausgang langsam an die Schiene treiben. R2 parallel zu C1 begrenzt die Gleichspannungsverstärkung auf

Unterhalb von f_u = 1 / (2π · R₂ · C₁) ≈ 16 Hz arbeitet die Schaltung wie ein normaler Verstärker, darüber als Integrator; nachrechnen kannst du die Grenzfrequenz mit RC-Grenzfrequenz berechnen. Bei 1 kHz, sechzigmal höher, stört R2 kaum: Die Simulation mit R2 liefert 2,018 V statt 2,016 V. Der Offset des MCP6002 von höchstens 4,5 mV verschiebt das Dreieck nur um 4,5 mV · 17 ≈ 77 mV (Rauschverstärkung 1 + R₂/R₁).

3. Gleichanteil abtrennen. Ohne C3 würde jede Abweichung des Rechtecks von 2,5 V Mittelwert mit 16 verstärkt. Ein Arduino-Pin, der unter Last nur 4,8 V liefert, hat einen Mittelwert von 2,4 V; das Dreieck würde um 0,1 V · 16 = 1,6 V nach oben wandern und anschlagen. C3 lässt nur den Wechselanteil durch. Mit R1 bildet er einen Hochpass bei 1 / (2π · 6,2 kΩ · 10 µF) ≈ 2,6 Hz, weit unter 1 kHz.

4. Grenzen des OPVs. Die Rampe ändert sich mit 4 V/ms = 0,004 V/µs; der MCP6002 schafft 0,6 V/µs. Der Ausgang bleibt mit 1,5 bis 3,5 V weit weg von den Schienen. R1 belastet den Pin mit 0,4 mA.

Den Rechteck liefert jeder Arduino-Pin:

void setup() {
  tone(9, 1000);      // 1 kHz, Tastgrad 50 %, auf Pin 9
}

void loop() {}

Bauteilliste

Varianten

Reset statt R2. Für Messaufgaben, bei denen der Integrator eine Zeit lang exakt aufsummieren soll, ersetzt ein Analogschalter (etwa ein 74HC4066) parallel zu C1 den Widerstand. Er entlädt C1 vor jeder Messung. So arbeitet der Dual-Slope-Wandler im Multimeter.

Dreieck- und Rechteckgenerator. Koppelst du den Ausgang des Integrators auf einen Komparator mit Hysterese zurück, der wiederum den Integrator speist, schwingt die Anordnung von selbst: Ein OPV liefert das Rechteck, der andere das Dreieck.

PI-Regler. Ein Widerstand in Reihe zu C1 fügt einen proportionalen Anteil hinzu. Der Integrator sorgt dafür, dass die bleibende Regelabweichung verschwindet.

Umgekehrt. Tauschst du R1 und C1, entsteht der Differenzierer. Das passive Gegenstück zu beiden zeigt Differenzierglied und Integrierglied.

Typische Fehler

• Ausgang hängt an einer Schiene: R2 fehlt oder ist zu groß, oder der Gleichanteil des Eingangs passt nicht zur Referenz. Miss die Spannung am Minus-Eingang: Weicht sie von 2,5 V ab, arbeitet der OPV nicht mehr linear.
• Dreieck mit gebogenen Flanken: R2 ist zu klein im Verhältnis zu 1/(2π f C₁), oder die Frequenz liegt zu nah an f_u. Faustregel: Die Arbeitsfrequenz sollte mindestens zehnmal über f_u liegen.
• Amplitude stimmt nicht: Keramikkondensatoren der Klassen Y5V und Z5U verlieren mit Gleichspannung und Temperatur bis zu 80 % ihrer Kapazität. Für C1 eine Folie oder C0G nehmen, siehe Keramikkondensator.
• Dreieck kippt bei höherer Frequenz: Die Amplitude sinkt mit 1/f. Bei 10 kHz sind es nur noch 0,2 V. Für eine andere Frequenz R₁ · C₁ neu rechnen.
• Ausgang abgeschnitten: Bei 100 Hz wäre die Amplitude rechnerisch 20 V; der Ausgang schlägt an. Hier fehlt eine Amplitudenregelung, und die Frequenz muss zur Dimensionierung passen.

Selbsttest