Überlagerungssatz (Superposition)

Ein Akku lädt über ein Netzteil, während gleichzeitig ein Verbraucher dranhängt. Ein Sensor liefert ein kleines Signal, das auf einer Gleichspannung als Arbeitspunkt sitzt. Ein Analogeingang bekommt über zwei Widerstände zwei verschiedene Spannungen gemischt. Überall wirken mehrere Quellen gleichzeitig auf dieselbe Schaltung – und genau dann hilft der Überlagerungssatz: Statt alle Quellen auf einmal zu betrachten, rechnest du jede einzeln und zählst die Ergebnisse am Ende zusammen.

Die Aussage

In einem linearen Netzwerk ist jeder Zweigstrom und jede Teilspannung die Summe der Beiträge, die jede Quelle für sich allein hervorrufen würde. Dieses Superpositionsprinzip geht auf Hermann von Helmholtz zurück.

Linear heißt: Das Netzwerk besteht nur aus ohmschen Widerständen (oder, bei Wechselstrom, Kondensatoren und Spulen) und unabhängigen Quellen. Für jedes Bauteil gilt dann das Ohmsche Gesetz mit festem Wert – doppelte Spannung, doppelter Strom. Genau diese Proportionalität macht das Zerlegen erlaubt.

So gehst du vor

1. Eine Quelle auswählen, alle anderen „abschalten“: Ideale Spannungsquellen werden durch einen Draht ersetzt (ihre Spannung ist dann 0 V), ideale Stromquellen durch eine Unterbrechung (ihr Strom ist dann 0 A). Innenwiderstände realer Quellen bleiben in der Schaltung.
2. Teilschaltung berechnen. Was übrig bleibt, hat nur noch eine Quelle und lässt sich mit Reihen-, Parallel- und Teilerregeln lösen. Notiere die gesuchten Größen mit Richtung.
3. Wiederholen für jede weitere Quelle.
4. Vorzeichenrichtig addieren. Teilströme in gleicher Richtung addieren sich, entgegengesetzte ziehen sich ab.

Rechenbeispiel mit zwei Spannungsquellen

Zwei Quellen speisen einen gemeinsamen Knoten K: links U₁ = 12 V über R₁ = 4 Ω, rechts U₂ = 6 V über R₃ = 12 Ω. Vom Knoten K führt R₂ = 6 Ω nach Masse. Gesucht ist der Strom I₂ durch R₂.

Nur U₁ wirkt

U₂ wird durch einen Draht ersetzt. Dann liegen R₂ und R₃ parallel: 6 Ω ∥ 12 Ω = 4 Ω. Zusammen mit R₁ sind das 8 Ω, aus der Quelle fließen 12 V / 8 Ω = 1,5 A. Am Knoten liegen 1,5 A · 4 Ω = 6 V, durch R₂ fließen also

Nur U₂ wirkt

Jetzt wird U₁ durch einen Draht ersetzt. R₁ und R₂ liegen parallel: 4 Ω ∥ 6 Ω = 2,4 Ω. Mit R₃ ergibt das 14,4 Ω, der Strom aus U₂ beträgt 6 V / 14,4 Ω ≈ 0,417 A. Am Knoten liegen 0,417 A · 2,4 Ω = 1 V, und

Überlagern

Beide Teilströme fließen von K nach Masse, also in dieselbe Richtung:

Die Knotenspannung ist entsprechend 6 V + 1 V = 7 V. Zur Probe mit der Knotenregel: Durch R₁ fließen (12 V - 7 V) / 4 Ω = 1,25 A in den Knoten hinein, durch R₃ (7 V - 6 V) / 12 Ω ≈ 0,083 A hinaus zur rechten Quelle, und 1,25 A - 0,083 A ≈ 1,17 A bleiben für R₂. Es passt.

Interessant ist der Strom durch R₃: In Teilschaltung 1 fließen dort 0,5 A vom Knoten nach rechts, in Teilschaltung 2 rund 0,417 A von rechts zum Knoten. Überlagert bleiben nur gut 0,08 A nach rechts übrig – die 6-V-Quelle wird also sogar leicht geladen, statt Strom zu liefern. Ohne sauber notierte Richtungen wäre dieses Ergebnis falsch herausgekommen.

Wo der Überlagerungssatz glänzt

Gegenüber dem vollständigen Gleichungssystem aus Maschen- und Knotenregeln brauchst du bei kleinen Netzwerken nur Schulmathematik. Noch wichtiger ist das Prinzip als Denkweise:

• Gleich- und Wechselanteil getrennt rechnen. Ein Signal, das auf einer Gleichspannung sitzt, ist eine Mischspannung. Du rechnest den Arbeitspunkt mit der Gleichspannung allein und das Signal mit der Wechselspannung allein. In der Wechselrechnung sperrt ein Kondensator dann nicht mehr, sondern wirkt als Blindwiderstand.
• Pegel verschieben. Ein Sensorsignal von −1 V bis +1 V soll an einen ADC mit 0 bis 3,3 V. Über einen Widerstand zum Signal und einen zweiten zur Referenzspannung entsteht am Knoten eine gewichtete Mischung beider Spannungen – mit Superposition rechnest du jeden Beitrag einzeln.
• Störungen abschätzen. Wie stark schlägt eine Brummspannung auf der Versorgung auf den Ausgang durch? Du betrachtest nur die Störquelle und schaltest alle anderen ab.

Grenzen

Im Beispiel setzt R₂ tatsächlich 6 Ω · (1,17 A)² ≈ 8,2 W um. Addierst du stattdessen die Teilleistungen, kommst du nur auf 6 Ω · (1 A)² + 6 Ω · (0,17 A)² ≈ 6,2 W – zwei Watt zu wenig. Erst Ströme und Spannungen überlagern, dann die Leistung aus dem Gesamtergebnis berechnen.

Weitere Grenzen:

• Nur lineare Bauteile. Dioden, LEDs und Transistoren haben eine gekrümmte Kennlinie; eine Diode, die bei einer Quelle allein sperrt, kann bei beiden zusammen leiten. Superposition gilt dort höchstens für kleine Änderungen um einen festen Arbeitspunkt.
• Gesteuerte Quellen bleiben eingeschaltet. Hängt eine Quelle von einer Größe im Netzwerk ab – wie im Ersatzschaltbild eines Transistors –, wird sie nicht abgeschaltet, sondern in jeder Teilschaltung mitgerechnet.
• Viele Quellen, viel Arbeit. Bei vier oder mehr Quellen ist ein Knotenpotentialverfahren oder eine Ersatzspannungsquelle meist schneller.

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