Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle

Am Ausgang eines Sensors, eines Spannungsteilers oder einer Verstärkerstufe hängt fast immer etwas – und du willst wissen, wie stark die Spannung dort einbricht, wenn du mal 1 kΩ und mal 100 kΩ anschließt. Die ganze Schaltung jedes Mal neu durchzurechnen, ist mühsam. Einfacher geht es mit einem Trick, der zu den wichtigsten Werkzeugen der Schaltungsanalyse gehört: Du ersetzt alles hinter den beiden Anschlussklemmen durch eine einzige Quelle mit einem einzigen Innenwiderstand.

Die Idee: ein Zweipol

Betrachtest du eine Schaltung nur von zwei Klemmen A und B aus, ist sie ein Zweipol. Was im Inneren passiert, interessiert die angeschlossene Last nicht – sie „sieht“ nur, welche Spannung an den Klemmen anliegt und wie stark diese unter Strom nachgibt. Solange das Innere linear ist, also nur aus Widerständen und idealen Spannungs- und Stromquellen besteht, verhält sich dieser Zweipol nach außen exakt wie eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand.

Diese Aussage heißt Satz von der Ersatzspannungsquelle oder Thévenin-Theorem. Hermann von Helmholtz hat sie 1853 formuliert, Léon Charles Thévenin 1883 unabhängig davon wiederentdeckt. Die Ersatzschaltung hat nur zwei Kenngrößen:

• die Leerlaufspannung U₀ – die Spannung an den offenen Klemmen,
• den Innenwiderstand R_i – den Widerstand, den du von den Klemmen aus in die Schaltung hinein siehst.

Mit diesen beiden Werten rechnest du jede Last R_L wie einen einfachen Spannungsteiler:

U₀ und Rᵢ bestimmen

Das Vorgehen ist immer dasselbe, egal wie verschachtelt die Schaltung ist:

1. Last abtrennen. Entferne den Verbraucher, für den du dich interessierst. Übrig bleiben die offenen Klemmen A und B.
2. Leerlaufspannung berechnen. Bestimme die Spannung zwischen A und B ohne Last – meist mit Spannungsteiler-Regel oder den Kirchhoffschen Regeln. Das ist U₀.
3. Quellen „abschalten“. Ersetze jede ideale Spannungsquelle durch einen Draht (Kurzschluss) und jede ideale Stromquelle durch eine Unterbrechung. Innenwiderstände realer Quellen bleiben drin.
4. Innenwiderstand berechnen. Fasse die verbliebenen Widerstände von A und B aus zusammen – mit den Regeln der gemischten Schaltung. Das ist R_i.

Statt Schritt 3 und 4 kannst du auch den Kurzschlussstrom I_K zwischen A und B bestimmen. Dann gilt:

Beispiel: der belastete Spannungsteiler

Ein Teiler aus R₁ = 6 kΩ (oben) und R₂ = 3 kΩ (unten) hängt an 12 V. Am Ausgang A–B sollen verschiedene Lasten angeschlossen werden.

Leerlaufspannung: Ohne Last ist das der unbelastete Teiler:

Innenwiderstand: Ersetzt du die 12-V-Quelle durch einen Draht, liegt das obere Ende von R₁ direkt am unteren Ende von R₂. Von A–B aus siehst du beide Widerstände parallel:

Ab jetzt ist der Teiler für dich nur noch „4 V hinter 2 kΩ“. Die Probe über den Kurzschlussstrom passt: Schließt du A–B kurz, fließen 12 V / 6 kΩ = 2 mA, und 4 V / 2 mA = 2 kΩ.

Der Vorteil zeigt sich, sobald du mehrere Lasten durchprobierst: Bei 2 kΩ bleiben 2 V, bei 18 kΩ schon 3,6 V, bei 98 kΩ fast 3,92 V. Jede Variante ist eine Kopfrechnung.

Die Ersatzstromquelle

Dieselbe Schaltung lässt sich auch als ideale Stromquelle mit parallel liegendem Innenwiderstand darstellen – das ist die Ersatzstromquelle oder das Norton-Äquivalent (nach Edward Lawry Norton, 1926). Ihre Kenngrößen sind der Kurzschlussstrom I_K und derselbe Innenwiderstand R_i, jetzt parallel zur Quelle.

Beide Darstellungen lassen sich jederzeit ineinander umrechnen:

Der Innenwiderstand bleibt gleich, er wechselt nur von der Reihen- in die Parallellage. Für das Beispiel oben heißt das: 2 mA parallel zu 2 kΩ verhält sich an den Klemmen genauso wie 4 V hinter 2 kΩ. Ohne Last fließen die 2 mA durch R_i und erzeugen dort 4 V – die Leerlaufspannung. Bei Kurzschluss fließen sie vollständig durch die Brücke.

Welche Form du nimmst, ist Geschmackssache und hängt von der weiteren Rechnung ab. Liegen mehrere Zweipole parallel, ist die Stromquellenform bequemer, weil sich Kurzschlussströme und Leitwerte einfach addieren. Liegen sie in Reihe, addierst du bei der Spannungsquellenform die Leerlaufspannungen und Innenwiderstände. Bei sehr kleinem R_i liegt die Spannungsquellenform näher an der Wirklichkeit, bei sehr großem die Stromquellenform – siehe Konstantstromquelle.

U₀ und Rᵢ messen

Bei einer fertigen Schaltung kannst du die Ersatzgrößen auch messen, ohne den Schaltplan zu kennen:

• Leerlaufspannung mit einem hochohmigen Voltmeter direkt an A–B messen.
• Belastet messen: Einen bekannten Lastwiderstand R_L anschließen und die Spannung U_L ablesen. Dann ist

Misst du am Teiler oben 4,0 V im Leerlauf und 3,33 V mit 10 kΩ Last, ergibt sich R_i = 10 kΩ · (4 / 3,33 - 1) ≈ 2 kΩ. Besonders bequem: Stellst du die Last mit einem Potentiometer so ein, dass genau die halbe Leerlaufspannung anliegt, ist der eingestellte Wert gleich R_i.

Grenzen der Ersatzschaltung

Die Ersatzquelle stimmt nur nach außen. Was im Inneren passiert, gibt sie nicht wieder – das wird bei der Leistung deutlich. Im Leerlauf nimmt der echte Teiler oben ständig (12 V)² / 9 kΩ = 16 mW auf, die Ersatzspannungsquelle dagegen nichts, und die Ersatzstromquelle setzt in ihrem R_i 8 mW um. Für Klemmenspannung, Laststrom und Lastleistung sind alle drei gleichwertig, für den Wirkungsgrad der Quelle nicht.

Außerdem gilt das Verfahren nur für lineare Netzwerke. Enthält die Schaltung Dioden, LEDs oder Transistoren, kannst du sie höchstens um einen festen Arbeitspunkt herum näherungsweise ersetzen. Mit komplexen Widerständen funktioniert der Satz auch bei Wechselstrom, dann aber jeweils nur für eine Frequenz.

Selbsttest